Studentam.net.ua

18.1. Математичні основи обчислення тарифних ставок

   Поняття випадкової величини. Страхування виникає там, де існують явища і процеси випадкової природи. Тому більшість величин, що розглядаються у страхуванні, є випадковими величинами. З математичного погляду випадкова величина — це змінна, яка може набувати певних значень з певною ймовірністю.
   Випадкова величина повністю описується своєю функцією розподілу. Функцією розподілу випадкової величини x (або інтегральною функцією) називається функція, яка кожному числу x ставить у відповідність імовірність того, що x набуде значення, меншого за x:

   Функція  визначена при всіх значеннях аргументу x і має такі властивості:

   Серед випадкових величин можна виокремити два основні типи — дискретні та абсолютно неперервні.
   Дискретною називається випадкова величина, яка може набувати скінченної або зліченної множини значень. Дискретними є, наприклад, такі величини: кількість позовів (страхових випадків) у поточному році або кількість договорів, що їх буде укладено страховиком.
   Якщо функцію розподілу випадкової величини x можна подати у вигляді

де — деяка невід’ємна функція, то випадкова величина x називається абсолютно неперервною, а функція   — щільністю розподілу випадкової величини x . Абсолютно неперервними можна вважати, наприклад, розмір майбутніх прибутків страховика, а також тривалість очікування між двома послідовними страховими випадками.
   Числові характеристики випадкових величин. У страховій практиці, як правило, нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові макрохарактеристики. Найважливішими з них є математичне сподівання та дисперсія.
   Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним, значенням) — це середньозважене за ймовірністю значення випадкової величини. Для дискретних випадкових величин математичне сподівання обчислюється з формулою:

де x_i — значення, яких набуває випадкова величина;
p_i — ймовірності їх реалізації.
   Для абсолютно неперервних випадкових величин математичне сподівання подається так:

де px — щільність випадкової величини x .
   Якщо випадкова величина невід’ємна (0 £  x ), математичне сподівання можна обчислити за формулою:

   Для будь-яких сталих a, b та випадкових величин x , z виконуються такі властивості математичного сподівання:

   Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини x від її середнього значення й обчислюється як математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання:

   Дисперсія задовольняє такі співвідношення:

де a, b — довільні сталі;
x — випадкова величина.
   Якщо випадкова величина невід’ємна, дисперсію можна обчислити за формулою:

   Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття — стандартне відхилення та коефіцієнт варіації. Стандартним, або середньоквадратичним, відхиленням називають корінь квадратний із дисперсії:

   Відношення стандартного відхилення випадкової величини x до модуля математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації:

   Для випадкової величини x квантилем рівня a (або a -квантилем) називається величина ta , яка при заданому значенні довірчої ймовірності a єкоренем рівняння

   Незалежність випадкових величин. Випадкові величини x та z називаються незалежними, якщо за відомим значенням величини x не можна зробити жодних висновків стосовно значення z , і навпаки, значення z ніяк не впливає на обізнаність із величиною x . Формально випадкові величини x та z називаються незалежними, якщо при будь-яких значеннях a та b імовірність події є добутком імовірностей подій

   Якщо випадкові величини не задовольняють наведену щойно умову, то вони називаються залежними. Прикладом залежних випадкових величин є кількість позовів та сумарний розмір виплат. Відсутність позовів означає відсутність виплат. Нехай h — кількість позовів (кількість виплат) у поточному році, x — відповідна сума виплат у страховика. Нехай з імовірністю 10 % протягом року виплат у страховика немає. Цей факт можна записати кількома способами:

   Це означає, що випадкові величини h і x залежні. Незалежними випадковими величинами можуть вважатись, наприклад, кількості позовів з різних видів страхування.
   Наведемо дві важливі властивості. Якщо випадкові величини x та z незалежні, то для них виконуються такі співвідношення:

   Статистичні оцінки. Часто ми не маємо інформації про реальний розподіл випадкової величини x , але маємо деяку сукупність спостережень, у результаті яких вона набуває значень x₁, x₂, x₃, ..., x_n. Ця сукупність значень називається вибіркою, а величини

відповідно вибірковим (емпіричним) середнім та незсуненою вибірковою (емпіричною) дисперсією. Вибіркове середнє використовують для оцінювання математичного сподівання:

незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової величини:

   Принципи обчислення тарифних ставок. В актуарній практиці використовуються найрізноманітніші методи обчислення тарифних ставок. Усі вони базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов’язань страхувальника і страховика. Але парадокс полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлумачити цей загальновизнаний принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу еквівалентності.
   Еквівалентність фінансових зобов’язань як еквівалентність сподіваних значень. Зобов’язання страхувальників полягають у сплаті страхових премій. Зобов’язання страховика оплачувати позови страхувальника. Нехай p означає суму зібраних страховиком премій, Х — сумарні виплати страховика. Природно вважати, що справедливою платою за ризикстраховикає сподіване (середнє) значення випадкової величини Х:

p = M [X]

   У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто використовується у страхуванні життя та деяких інших галузях масового страхування.
   Еквівалентність зобов’язань з погляду теорії розорення. Зобов’язання страхувальників мають безумовний характер. Купуючи поліс, страхувальник звільняє себе від ризику несподіваних витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані. Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його виплати будуть значно більші за M[Х]. Тому страховик вправі вимагати додаткової плати за можливі збитки — ризикову надбавку L. Із цього погляду справджується співвідношення:

p = M [X] + L

   Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової надбавки L та страхової премії p? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення.
   Факт розорення страховика описується співвідношенням U + p < X, де U — розмірвласних коштів страховика. Відповідно ймовірність розорення дорівнює  P(U + p < X).
   Отже, якщо страховик намагається досягнути ймовірності розорення a , то він має забезпечити розмір страхових премій p таким, щоб виконувалося співвідношення:

   Таке розуміння принципу еквівалентності є найпоширенішим у сьогоденній практиці. Основним недоліком цього підходу є досить висока абстрактність поняття “ймовірність розорення”. Яка ймовірність розорення страховика вважається достатньою — 10, 1 чи 0,1 %? На це запитання дуже важко дати аргументовану відповідь. Зменшення ймовірності розорення з 2 до 0,2 % для страховика не має принципового значення, хоча може призвести до необхідності збільшити ризикову надбавку в півтора раза.
   Принцип еквівалентності зобов’язань у термінах теорії розорення має математично обґрунтовану форму, але застосування його в актуарній практиці може призводити до значних коливань розрахункових значень.
   Еквівалентність зобов’язань з погляду теорії корисності. Нині дедалі популярнішим стає підхід до формалізації принципу еквівалентності фінансових зобов’язань страхувальника і страховика, що ґрунтується на теорії корисності.
   Основним поняттям цієї теорії є функція корисності. Функцією корисності називають функцію u(x), яка має такі властивості:
   функція u зростаюча — u(x) > u(y) при x > y;
   функція u задовольняє нерівність Єнсена ;
   функція u задовольняє умову нульової корисності u (0) = 0.
   Функція корисності визначає ступінь важливості для страховика певних грошових сум. Вона має суб’єктивний характер, включаючи психологічний компонент.
   За допомогою функції корисності принцип еквівалентності можна записати так:

   Отже, сподівана корисність капіталу страховика після прийняття ризиків не повинна зменшитися порівняно з корисністю початкового капіталу. На практиці часто застосовують експоненціальну функції корисності. Головна проблема при практичному використанні принципу еквівалентності в термінах теорії корисності — відшукання адекватної функції корисності.

Всі опубліковані на сайті матеріали належать їх авторам. Матеріали розміщено виключно для ознайомлення. Копіювання та використання інформації суворо заборонено.